विषय
एप्सिलॉन-डेल्टा की परिभाषा एक प्रदर्शन है जो छात्र कैलकुलस कक्षाओं के पहले वर्ष में सीखते हैं। यह परिभाषा यह दिखाने का एक क्लासिक तरीका है कि एक फ़ंक्शन एक विशिष्ट सीमा तक पहुंचता है क्योंकि एक स्वतंत्र चर किसी दिए गए मूल्य पर पहुंचता है। एप्सिलॉन और डेल्टा क्रमशः ग्रीक वर्णमाला का चौथा और पाँचवाँ अक्षर है। ये पत्र पारंपरिक रूप से सीमाओं की गणना की प्रक्रिया में उपयोग किए जाते हैं और प्रदर्शन प्रक्रियाओं में भी उपयोग किए जाते हैं।
दिशाओं
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एक को औपचारिक सीमा परिभाषा के साथ काम करके शुरू करना चाहिए। यह परिभाषा बताती है कि "f (x) की सीमा L है, जैसे x k के निकट आता है, यदि प्रत्येक एप्सिलॉन शून्य से अधिक हो तो एक समान डेल्टा होता है, जो शून्य से अधिक होता है, जैसे कि, जब मान एक्स और के के बीच का अंतर डेल्टा से कम है, एफ (एक्स) और एल के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य एप्सिलॉन से कम होगा। "अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि f (x) की सीमा L है, जब x k के निकट आता है, यदि x से k के निकट जाकर f (x) को L के समान वांछित बनाना संभव है। एप्सिलॉन-डेल्टा प्रदर्शन करने के लिए, यह दिखाया जाना चाहिए कि किसी दिए गए फ़ंक्शन और सीमा के लिए एप्सिलॉन के संदर्भ में डेल्टा को परिभाषित करना संभव है।
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कथन में हेरफेर करें "| f (x) - L | एप्सिलॉन से छोटा है" जब तक आप प्राप्त नहीं करते हैं। x - k कुछ मूल्य से कम। डेल्टा होने के लिए इस "कुछ मूल्य" पर विचार करें। औपचारिक परिभाषा और केंद्रीय विचार को याद रखें, जिसमें कहा गया है कि यह दिखाना आवश्यक है कि किसी भी एप्सिलॉन के लिए एक डेल्टा है, उनके बीच एक संबंध स्थापित करना जो परिभाषा को सच बनाता है। इस कारण से, एप्सिलॉन के संदर्भ में डेल्टा को परिभाषित करना आवश्यक है।
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परिभाषा कैसे आगे बढ़ती है, इस पर ध्यान देने के लिए निम्नलिखित कई उदाहरण देखें। उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए कि 3x-1 की सीमा 2 है, जब x 1 से संपर्क करता है, तो हम k = 1, L = 2 और f (x) = 3x-1 पर विचार करते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए | f (x) - L एप्सिलॉन से कम है, करो | (3x - 1) - 2 | एप्सिलॉन से कम है। इसका मतलब है कि | 3x - 3 | एप्सिलॉन से कम है, इसलिए 3 | x - 1 | भी है, या || x - १ | एप्सिलॉन / 3 से कम है। इस प्रकार, उस डेल्टा = एप्सिलॉन / 3; | f (x) - L पर विचार करना जब भी एप्सिलॉन से कम होगा | x - k | डेल्टा से कम है।
युक्तियाँ
- प्रमाण का मध्य भाग f (x) - L को x - k में बदलना है। यदि आप इस लक्ष्य को ध्यान में रखते हैं, तो बाकी का प्रदर्शन पूरी तरह से हो जाएगा।
चेतावनी
- कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन की सीमा इंगित कर सकती है कि f (x) अनंत को जाता है जब भी x अनंत को जाता है। एप्सिलॉन-डेल्टा की परिभाषा इन मामलों में काम नहीं करती है; इन स्थितियों में, एक समान प्रदर्शन दो बड़ी संख्याओं को चुनकर किया जा सकता है, M और N, और यह दिखाते हुए कि f (x) M को N से अधिक होने के कारण M को पार कर सकता है, और M को वांछित के रूप में बड़ा किया जा सकता है।
